Funciones Matemáticas

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¿Qué es una función?

Definición

Una función es una relación que asocia a cada valor de la variable x (dominio) exactamente un único valor de y (imagen). Se escribe como y = f(x).

🎯 Vocabulario clave

Variable independiente (x): el valor que elegimos libremente.
Variable dependiente (y): el resultado; depende de x.
Imagen de x: el valor y = f(x) que le corresponde a x. Ej: si y = 3x, la imagen de 2 es 6.
Antiimagen de y: los valores de x que producen un y dado. Ej: en y = |x|, la antiimagen de 3 son −3 y 3.
Dominio: conjunto de valores que puede tomar x.
Recorrido (imagen): conjunto de todos los valores de y posibles.

x → independiente y → dependiente f(x) → imagen

📋 Ejemplo resuelto

Para la función y = 2x + 1:

x	−2	−1	0	1	2	3
y = 2x+1	−3	−1	1	3	5	7

La imagen de 2 es 5. La antiimagen de 1 es 0.

📊

Características de una función

📏 Dominio y Recorrido

Dominio: conjunto de valores que puede tomar x (el eje horizontal).
Recorrido: conjunto de valores que toma y (el eje vertical).

📌 Ejemplo: En la gráfica de la imagen, el Dominio es 0 ≤ x ≤ 8 y el Recorrido es 1 < y < 7.

〰️ Continuidad y Discontinuidad

Función continua: se puede dibujar sin levantar el bolígrafo del papel.
Función discontinua: tiene interrupciones o "saltos" en su gráfica.

✂️ Puntos de corte con los ejes

Corte con el eje x: puntos donde y = 0. Tienen la forma (x, 0).
Corte con el eje y: puntos donde x = 0. Tienen la forma (0, y).

📌 Ejemplo: Una función corta el eje x en (5,0) y (−2,0), y el eje y en (0,2).

📈 Crecimiento y Decrecimiento

Función creciente en un intervalo: al aumentar x, aumenta y.
Función decreciente en un intervalo: al aumentar x, disminuye y.
Una función puede ser creciente en unos tramos y decreciente en otros.

🔺 Máximos y Mínimos

Máximo relativo: punto más alto en un tramo de la función.
Mínimo relativo: punto más bajo en un tramo de la función.
Máximo absoluto: el punto más alto de toda la función.
Mínimo absoluto: el punto más bajo de toda la función.

📌 Del mapa mental: Mínimo absoluto en (0,0) · Máximo relativo en (2,5) · Mínimo relativo en (5,2) · Máximo absoluto en (7,7).

📉

Cómo representar una función

📋 Las 4 formas de representar una función

Enunciado: descripción con palabras.
Fórmula: expresión algebraica, por ejemplo y = 3x.
Tabla de valores: lista de pares (x, y).
Gráfica: representación visual en el plano cartesiano.

🔢 Paso a paso: de fórmula a gráfica

Para representar y = x² − 4:

x	−3	−2	−1	0	1	2	3
y=x²−4	5	0	−3	−4	−3	0	5

Corta el eje x en (−2, 0) y (2, 0) · Corta el eje y en (0, −4) · Mínimo en (0, −4).

Función creciente

y = 2x + 1

Función decreciente

y = −x + 3

Parábola

y = x² − 4

Función con máx. y mín.

Tramos crec. y decrec.

🧩

Tipos de funciones

📐 Función Lineal

y = mx + b

m: pendiente (inclinación)
b: ordenada en el origen
Si m > 0 → creciente
Si m < 0 → decreciente

➡️ Función Constante

y = k

La y siempre vale lo mismo
Recta horizontal
Ni creciente ni decreciente

⛰️ Función Cuadrática

y = ax²

Forma de parábola
Si a > 0 → abre hacia arriba
Si a < 0 → abre hacia abajo
Tiene un vértice (máx. o mín.)

📊 Función a trozos

Usa distintas fórmulas en distintos intervalos
Puede ser continua o discontinua
Muy habitual en situaciones reales

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Ejercicios resueltos

Imagen y antiimagen

Dada la función f(x) = 3x − 2:

Calcula f(0), f(2) y f(−1).
¿Qué valor de x produce f(x) = 7?

a) Imágenes:
f(0) = 3·0 − 2 = −2
f(2) = 3·2 − 2 = 6 − 2 = 4
f(−1) = 3·(−1) − 2 = −3 − 2 = −5

b) Antiimagen de 7:
3x − 2 = 7 → 3x = 9 → x = 3

Tabla de valores y gráfica

Completa la tabla para y = −2x + 4 con x ∈ {−1, 0, 1, 2, 3} y di:

¿Es creciente o decreciente? ¿Por qué?
¿Dónde corta los ejes?

Tabla:
x = −1 → y = −2·(−1)+4 = 6
x = 0 → y = 4
x = 1 → y = 2
x = 2 → y = 0
x = 3 → y = −2

1) Decreciente, porque al aumentar x, disminuye y (la pendiente m = −2 < 0).

2) Corta eje x: y = 0 → −2x+4 = 0 → x = 2 → punto (2, 0)
Corta eje y: x = 0 → y = 4 → punto (0, 4)

Análisis de una gráfica

Una función tiene estas características según su gráfica:

Dominio: [−3, 5]
Corta el eje x en (−1, 0) y (3, 0)
Corta el eje y en (0, 2)
Tiene un máximo en (1, 4) y un mínimo en (4, −1)

Responde: a) ¿Cuál es el recorrido? b) ¿Dónde crece y dónde decrece?

a) Recorrido: Los valores de y van desde el mínimo y = −1 hasta el máximo y = 4. Recorrido = [−1, 4].

b) Crecimiento:
• Crece en [−3, 1] (desde el inicio hasta el máximo en x = 1)
• Decrece en [1, 4] (del máximo al mínimo)
• Vuelve a crecer en [4, 5] si sube tras x = 4.

Problema de aplicación real

Una tienda cobra 2€ por cada unidad de un producto, más 5€ fijos de envío.

Escribe la función que da el coste total C en función del número de unidades n.
¿Cuánto pagarás por 8 unidades?
¿Cuántas unidades puedes comprar con 25€?

1) Función: C(n) = 2n + 5

2) C(8) = 2·8 + 5 = 16 + 5 = 21€

3) 2n + 5 = 25 → 2n = 20 → n = 10 unidades

Máximos, mínimos y monotonía

Observa una función con estos datos: sube desde x = −2 hasta x = 1 (donde alcanza y = 5), baja desde x = 1 hasta x = 4 (donde vale y = −1), y vuelve a subir hasta x = 6 (y = 3).

¿Dónde están los máximos y mínimos relativos?
¿En qué intervalos es creciente? ¿Y decreciente?
Si el dominio es [−2, 6], ¿cuál es el máximo absoluto?

1) Máximo relativo en (1, 5) · Mínimo relativo en (4, −1)

2) Creciente en [−2, 1] y en [4, 6] · Decreciente en [1, 4]

3) El mayor valor de y es 5 (en x = 1), por lo que el máximo absoluto es (1, 5).

🧠

Test rápido

Pregunta 1

En la función y = f(x), la imagen de x = 3 en f(x) = 2x − 1 es:

Pregunta 2

Una función es decreciente en un intervalo cuando…

Pregunta 3

¿Dónde corta el eje y la función y = 3x − 6?

Pregunta 4

Una función con forma de parábola que abre hacia abajo tiene…

📌

Resumen visual

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Función

Cada x tiene exactamente una imagen y

📏

Dominio / Recorrido

Valores posibles de x e y

📈

Creciente / Decreciente

¿Sube o baja al aumentar x?

🔺

Máximos y Mínimos

Puntos más altos y bajos

✂️

Puntos de corte

(x,0) en eje x · (0,y) en eje y

〰️

Continuidad

¿Se puede dibujar sin levantar el lápiz?